Методика: Численный интеграл онлайн: метод Симпсона и трапеций с таблицей узлов

Страница расчёта: открыть инструмент

Формула

h = \frac{b - a}{n}, x_{i} = a + ih, f_{i} = f (x_{i})

T = h (\frac{f _{0}}{2} + f_{1} + \dots + f_{n - 1} + \frac{f _{n}}{2})

S = \frac{h}{3} (f_{0} + 4 f_{1} + 2 f_{2} + 4 f_{3} + \dots + 2 f_{n - 2} + 4 f_{n - 1} + f_{n})

S_{3/8} = \frac{3 h}{8} (f_{0} + 3 f_{1} + 3 f_{2} + 2 f_{3} + \dots + 3 f_{n - 1} + f_{n})

E_{S} \approx \frac{∣ S ( h ) - S ( h /2 ) ∣}{15} E_{T} \approx \frac{∣ T ( h ) - T ( h /2 ) ∣}{3}

Как выполняется расчёт

Введите f(x): поддерживаются x^2, sin(x), e^x, sqrt(x), ln(x), скобки и неявное умножение (2x, 3sin(x)).
Задайте пределы a, b и число разбиений n (Симпсону нужно чётное — нечётное поднимется на единицу).
Сверьте узлы и веса по таблице: i, xᵢ, f(xᵢ), вес, вклад — это и есть расчётная таблица для отчёта.
Сравните S(h) с S(h/2): насколько значения сошлись, таков и порядок погрешности.

Ограничения и допущения

Методы предполагают непрерывность f на [a, b]; оценки O(h²) и O(h⁴) справедливы для гладких функций — на изломах точность ниже.
Интеграл по табличным данным (без формулы) — другой сценарий; здесь нужен ввод f(x) выражением.
Несобственные интегралы (1/x в нуле) и резко колеблющиеся функции дадут бесконечность или «не число» — верный признак, что этот метод здесь бессилен.

Источники