Определитель матрицы онлайн: три метода, решение по шагам

Коротко

Определитель — это одно число, которое матрица выдаёт по строгому правилу, и по нему потом видно почти всё: есть ли у системы единственное решение, обратима ли матрица. Для 2×2 и 3×3 его считают «по треугольникам»: три произведения вдоль главной диагонали складывают, три вдоль побочной вычитают. Матрицы побольше раскладывают по строке — каждый элемент умножают на его алгебраическое дополнение. Третий путь: привести матрицу к треугольному виду и перемножить диагональ. Ниже все три способа считаются на ваших числах, каждый шаг на виду. Ответ остаётся точной дробью: 1/2160, а не 0,000463.

Определитель — одно число, которое «выдаёт» сразу всё: обратима ли матрица, единственно ли решение системы. Выберите размер и впишите числа — ниже разберём $d e t A$ тем же способом, что и в методичке.

Размер:

| |

Δ = 106

Δ = 106: матрица невырожденная — обратная существует, и система с такой матрицей коэффициентов имеет ровно одно решение.

Разлагаем по второй строке: нулей в ней больше всего (1 из 3), а нулевой вклад писать не будем.
M₂₁: $(- 1 5 36)$ = (−1)·6 − 3·5 = −21; A₂₁ = (−1)²⁺¹·(−21) = 21
M₂₃: $(21 - 1 5)$ = 2·5 − (−1)·1 = 11; A₂₃ = (−1)²⁺³·11 = −11
Δ = Σ a·A = 4·(21) + (−2)·(−11) = 106
Контроль вторым методом (целочисленный метод Барейсса): Δ = 106 — сходится.

Без JavaScript поля неизменяемы, но пример разобран целиком: Δ(2·0·6 + (−1)·(−2)·1 + 3·4·5 − …) = 106, разложение по второй строке даёт те же 106.

Определитель считает медленно, зато точно

Почти все онлайн-калькуляторы определителей считают в десятичных дробях. Задайте матрицу Гильберта — и вместо 1/2160 получится 0,000463, где на пятом знаке уже мусор из-за накопленной погрешности. Здесь арифметика идёт на точных дробях: 1/2 + 1/3 это 5/6, а не 0,83333333. А для контроля ответ пересчитывается вторым, независимым путём — целочисленным методом Барейсса. Сошлись две дроби — значит, она настоящая.

Проверка вторым методом: одна дробь — два пути

Ошиблись в одном произведении — определитель уезжает на единицу, и это сразу видно: ответ перестаёт подставляться в систему. Поэтому после каждого решения идёт строка «Контроль другим методом». Привычка сверять ход двумя способами экономит на контрольной больше, чем кажется.

На этой странице также отвечаем на вопросы: «определитель матрицы онлайн», «как вычислить определитель матрицы», «определитель матрицы 3х3 онлайн решением», «найти определитель матрицы 4х4», «определитель матрицы по правилу треугольников», «разложение определителя по строке», «вычислить определитель онлайн с подробным решением».

Как считаем

det A = j = 1 \sum n (- 1)^{i + j} a_{ij} M_{ij}

det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}

A \to U det A = (- 1)^{s} u_{11} u_{22} \dots u_{nn}

Ограничения и допущения

Матрица квадратная и не больше 4×4: учебные методы для больших размеров не расписывают — там уже нужна программная триангуляция.
Правило треугольников работает только для 2×2 и 3×3; для 4×4 калькулятор сам предложит разложение или триангуляцию.
Ответ точный: если определитель — дробь вроде 1/2160, так она и записана, без округления в десятичную.

Полная методика, шаги и источники

Частые вопросы

как найти определитель матрицы 3х3

Правилом треугольников: три произведения по главной диагонали и параллельным ей линиям складываем, три по побочной — вычитаем. Для матрицы (2 −1 3; 4 0 −2; 1 5 6) выходит (0 + 2 + 60) − (0 − 20 − 24) = 106. Калькулятор расписывает все шесть слагаемых вашими числами, так что сверять с тетрадью удобно.

зачем выбирать строку для разложения

Разлагать можно по любой строке или столбцу — ответ не изменится. Но если в строке есть нули, часть слагаемых обнуляется, и миноров считать меньше. Калькулятор сам находит строку или столбец с наибольшим числом нулей — на 4×4 это экономит половину работы.

что значит определитель равен нулю

Матрица вырожденная: её строки линейно зависимы, одна собирается из остальных. Обратной матрицы тут нет, а система с такими коэффициентами либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. Ноль в определителе говорит именно об этом.

чем триангуляция лучше разложения

Для 4×4 разложение по строке — это четыре определителя 3×3, почти сорок произведений. Триангуляция делает ту же работу за шесть элементарных ходов, а потом просто перемножает диагональ. На экзамене выигрывает тот, кто умеет и то и другое: разложение удобнее для 3×3, треугольник — для 4×4.

Ещё на сайте

Размеры одежды и обуви Перевод размеров США ↔ Европа ↔ Россия по длине стопы Тулы: проверка железа, печать и онлайн-инструменты Проверить мышь, камеру, монитор и геймпад, настроить гитару — или собрать макет на печать Работа с файлами PDF, фото и данные — файлы не покидают устройство Развлечения и эзотерика Лунный календарь, гадания, нумерология и помощники выбора