Ранг матрицы, обратная матрица и собственные значения: онлайн с решением

Коротко

Ранг — это число независимых строк матрицы. Находят его элементарными преобразованиями до ступенчатого вида, а базисный минор подтверждает ответ. Обратная матрица существует ровно при ненулевом определителе, и получают её, превращая пару (A | E) в (E | A⁻¹). Собственные значения — корни уравнения det(λE − A) = 0: многочлен строится по схеме Фаддеева–Леверье, рациональные корни ищутся перебором делителей свободного члена, а квадратный остаток досчитывается радикалами. Для каждого рационального λ калькулятор тут же выдаёт собственные векторы.

Одна матрица — три вопроса курса: сколько в ней независимых строк ( $rang A$ ), есть ли $A^{- 1}$ и что за числа прячутся в $det (λ E - A) = 0$ . Переключайте вкладки — арифметика точная до последней цифры дроби.

ранг A = 2

Ранг = 2: ровно столько строк (и столько же столбцов) несут независимую информацию.

Исходная матрица 4×3: $123124603691$
Преобразованиями «строка минус другая строка» приводим её к ступенчатому виду — ранг от них не меняется.
Строка 2 → строка 2 − 2·строка 1 → $103120603091$
Строка 3 → строка 3 − 3·строка 1 → $100120003001$
Строка 4 → строка 4 − строка 1 → $1000 200 - 2 300 - 2$
Меняем местами строки 2 и 4: на ведущей позиции нужен ненулевой элемент, а целый даёт меньше дробей в ходе. → $1000 2 - 2 00 3 - 2 00$
Базисный минор второго порядка: строки 1, 4 × столбцы 1, 2; его определитель −2 ≠ 0.
А все миноры порядка 3 — нули: независимых строк больше 2 не нашлось бы, ступенчатый вид это исключает.
Наглядно: строка 2 = 2·строка 1 — лишняя строка целиком собирается из базисных.
Ненулевых строк в ступенчатом виде — 2, значит и ранг исходной матрицы 2.

Без JavaScript матрица неизменяема, но пример разобран: у неё ранг 2 — строки 2 и 3 вдвое кратны первой, а базисный минор (строки 1, 4 × столбцы 1, 2) равен −3.

Почему собственные числа везде выдают 2,0000000001

Большинство онлайн-калькуляторов решают характеристическое уравнение численно, с плавающей запятой, и на кратных корнях ошибка расползается: вместо тройки получается 2,9999997. Здесь многочлен строится точными дробями, а корни ищутся перебором рациональных кандидатов и квадратным остатком. Радикальные значения тоже точные: 2 − √2 остаётся 2 − √2, а не «примерно 0,586».

Зачем знать ранг до решения системы

Ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной отвечают на вопрос о существовании решения ещё до обратного хода. Полный ранг квадратной матрицы — это и ненулевой определитель, и обратная, и единственный ответ из Крамера. Одна цифра r связывает все три вкладки этого калькулятора — полезная привычка начинать именно с ранга.

На этой странице также отвечаем на вопросы: «ранг матрицы онлайн калькулятор с решением», «обратная матрица онлайн калькулятор», «собственные значения матрицы онлайн», «как найти ранг матрицы базисный минор», «метод жордана-гаусса обратная матрица пример», «характеристический многочлен матрицы 3х3», «найти собственные векторы матрицы пример».

Как считаем

rang A = max {k : Δ_{k} \neq = 0}, Δ_{k} — минор порядка k

A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}

det (λ E - A) = λ^{n} + c_{1} λ^{n - 1} + \dots + c_{n} = 0

A x = λ x, x \neq = 0

Ограничения и допущения

До 5×5 для ранга и до 4×4 для обратной и собственных: дальше разбором шагов уже не пользуются как тетрадью.
Собственные векторы выдаются для рациональных λ; иррациональные показываются точным радикалом, а вектор к ним доделывается тем же ходом на бумаге.
Если кубический многочлен не раскладывается, движок прямо называет десятичную аппроксимацию корня и помечает её как приближение.

Полная методика, шаги и источники

Частые вопросы

как найти ранг матрицы и не ошибиться с минором

Приведите матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями — ранг это число ненулевых строк. Потом найдите базисный минор того же порядка: калькулятор проверяет всех кандидатов и показывает первый ненулевой. Если ступенчатый вид дал k строк, то миноры порядка k+1 обязаны обнулиться — это и есть доказательство ответа.

чем жордан-гаусс лучше формулы с союзной матрицей

Результат один, путь разный. Формула через союзную матрицу A* верна, но на 3×3 требует девяти определителей второго порядка — долго и охотно с ошибками. Жордан–Гаусс ведёт одной таблицей: что слева стало единичной матрицей, то справа и есть обратная. Страница делает оба пути и сверяет их клетка в клетку.

как ищут собственные значения у матрицы 3х3

Характеристический многочлен третьей степени строят по схеме Фаддеева–Леверье: коэффициенты получаются целыми или дробными. Дальше в дело идёт теорема о рациональных корнях: кандидаты — делители свободного члена, и каждый проверяется через схему Горнера. Нашли корень — многочлен распадается на квадратный остаток, а его корни берутся из точной формулы, часто как √ или (a ± √b)/c.

собственные значения бывают комплексными?

Бывают. У вещественной матрицы комплексные корни приходят сопряжённой парой: например, у поворота на 90 градусов спектр — ±i, и калькулятор прямо говорит, что вещественных собственных чисел нет. А вот у симметричной вещественной матрицы спектр всегда вещественный — это свойство спасает многие курсовые задачи.

Ещё на сайте

Размеры одежды и обуви Перевод размеров США ↔ Европа ↔ Россия по длине стопы Тулы: проверка железа, печать и онлайн-инструменты Проверить мышь, камеру, монитор и геймпад, настроить гитару — или собрать макет на печать Работа с файлами PDF, фото и данные — файлы не покидают устройство Развлечения и эзотерика Лунный календарь, гадания, нумерология и помощники выбора